Статья 1.

Новое решение задачи Аполлония о проведении окружности,
касающейся трех данных.

Краткое содержание статьи.

В статье вводятся фундаментальные понятия геометрии окружности: симметрия окружностей (инверсия) и перпендикулярность окружностей. Эти понятия используются для решения классической задачи о проведении окружности, касающейся трех данных. Показывается, что таких окружностей может быть от нуля до 8, а в одном, исключительном случае – бесчисленное множество.


Построение искомой окружности аналогично построению окружности, касающейся трех данных прямых, или знакомой из школьного курса "окружности, вписанной в треугольник". Чтобы построить эту окружность, надо провести биссектрисы треугольника (они пересекаются в одной точке!), эта точка и будет центром искомой окружности. Опустим из этой точки перпендикуляры на стороны треугольника
Окружность, проходящая через три точки пересечения указанных перпендикуляров со сторонами треугольника и будет искомой. Для того, чтобы найти окружность, касающуюся трех данных окружностей достаточно обобщить этот способ построения. Нужно понять, что будет "биссектрисой" между окружностями (мы знаем, что такое биссектриса между прямыми), и что такое "перпендикулярные окружности". Это будет сделано с помощью преобразования инверсии или "симметрии окружностей".
Сколько искомых окружностей? Рассмотрим разные случаи расположения трех окружностей и "на глазок" оценим, сколько может быть окружностей, касающихся их всех.
1.Из трех данных окружностей одна – расположена между двумя другими.


В этом случае каждая окружность, касающаяся А и С – пересекает В, поэтому нет ни одной окружности, касающейся одновременно А, В и С.

2.

В этом случае есть две окружности, касающиеся их всех. Одна лежит внутри области, ограниченной дугами. Мы можем мыслить ее как каплю, втиснутую внутрь. Другая – охватывает все три исходные окружности. Мы можем представлять ее как лассо, затянутое на трех окружностях. Впрочем, можно считать, что любая исходная окружность, напр. А, также подходит для решения задачи: она касается двух других, а касается ли окружность саму себя? Это – дело определения.

3.

В этом случае вся плоскость оказывается разбита на 8 частей. 7 из них ограничены дугами окружностей и в каждую из них можно поместить одну окружность, касающуюся трех исходных. восьмая область плоскости неограниченна, в ней также можно поместить окружность, касающуюся трех данных. Она будет охватывать их, как лассо.

4.

В этом случае плоскость также разбита на восемь частей и существует восемь окружностей, касающихся исходных, но свойства у них другие. Заметим, что теперь одни части плоскости ограничены двумя дугами, а другие – тремя или четырьмя (в предыдущем случае все части плоскости имели границу из трех дуг). В областях ограниченных четырьмя дугами есть по две искомые окружности, в областях, ограниченных тремя дугами – по одной, а в областях, ограниченных двумя дугами – ни одной. Всего получается восемь окружностей, касающихся трех исходных, как и в предыдущем случае.

5.

В этом случае существует бесчисленной количество окружностей, касающихся исходных, все они касаются друг друга в одной точке, той же, что и три исходные. Такой набор окружностей называется "пучком касательных окружностей".

Фундаментальные понятия:

Симметрия окружностей. Ортогональные или перпендикулярные 
окружности и биссектрисы. Алгебраическая запись для симметрии.

Биссектрисой между двумя пересекающимися прямыми, или биссектрисой угла между двумя прямыми называют прямую, делящую пополам этот угол.

Угол между L1 и А равен углу между L1 и В, угол между L2 и А равен углу между L2 и В, угол между L1 и L2 – всегда прямой. При симметрии относительно L1 прямая А перейдет в В, прямая В – в А. Мы можем выразить это записью: L1(А)=В, L2(В)=А. Также и L2(А)=В, L2(В)=А. Поэтому биссектрису между двумя данными прямыми можно определить как прямую, относительно которой данные прямые симметричны. Биссектриса между окружностями определяется точно также! Биссектриса между двумя окружностями – это такая окружность, относительно которой обе окружности симметричны. Симметрия между окружностями называется инверсией и была строго определена шведским математиком Магнусом в первой трети прошлого века.

Определение и основные свойства инверсии:

Обычно инверсию определяют через расстояния, алгебраически. Я поступлю также, хотя из дальнейших статей станет ясно, что это можно сделать иначе или, имеет смысл считать инверсию неопределяемым, аксиоматическим понятием. Пусть дана окружность А с центром в О и точка Х. Образом точки Х при инверсии относительно окружности А называют точку Y, такую что: Y лежит на прямой (ОХ) причем О не разделяет точки Х и У и |OX|*|OY|=R*R где R – радиус окружности А.

Обозначают это так: А(Х)=Y. Из определения легко видеть, что если А(Х)=Y, то А(Y)=X. Точки Х и Y в этом случае называют еще "инверсно сопряженным относительно А".
Свойства инверсии (симметрии окружностей): 1. Точки окружности А остаются неподвижными при инверсии относительно А, т.к. если Х лежит на А, то |OX|=R, |OY|= R*R/|OX|=R, отсюда следует, что Х совпадает с Y.
2. Внутренности А инверсно соответствует внешность, т.е. точке, лежащей внутри окружности А инверсно сопряжена точка, лежащая вне окружности А. Иначе говоря – инверсия выворачивает окружность А наизнанку.
3. Чем дальше точка Y от окружности А, тем ближе Х к центру окружности А. При очень удаленных Y, Х почти совпадает с центром О. Т.к. |OX|=R*R/|OY| если |OY| очень велико, то |OX| – почти ноль.
4. Считают, что центр окружности А инверсно сопряжен с бесконечно удаленной точкой.
5. При инверсии окружности переходят в окружности. Иначе говоря, если некоторые точки лежат на одной окружности, то сопряженные с ними точки – также лежат на одной окружности.


А(В)=С. в этом случае окружности В и С называют сопряженными относительно окружности А (а окружность А называют сопрягающей окружностью).
6. Прямые инверсно сопряжены с окружностями, проходящими через центр окружности А.


В геометрии окружности прямую считаю частным случаем окружности. Все прямые – проходят через бесконечно удаленную точку (которая инверсно сопряжена с центром окружности А). Это соответствует нашей интуиции о том, что прямая – это окружность "бесконечно большого радиуса".
Уже сейчас мы можем определить биссектрису между окружностями В и С. Это такая окружность А, что А(В)=С. Но чтобы объяснить, что это – "настоящая" биссектриса, определим, что называют углом между окружностями.

Угол между окружностями
Углом между пересекающимися окружностями называют угол между касательными к этим окружностям в точке пересечения.


Окружности пересекаются в двух точках, но углы между касательными в точках пересечения – одинаковы. (откуда – по или против часовой стрелки надо отсчитывать угол, определять пока не будем) Если окружность А проходит через точки пересечения В и С и делит угол между ними пополам, то она и будет биссектрисой между ними, А(В)=С. Как и в случае двух пересекающихся прямых – есть две такие окружности. Обозначим вторую D, тогда D(В)=С. Угол между А и D равен 90 градусам.


Важнейшее свойство угла между окружностями: он не меняется при инверсии. Если угол между В и С равен y то после инверсии относительно какой-нибудь окружности К угол между К(В) и К(С) – также равен y

Угол между касающимися друг друга окружностями равен нулю. Угол между окружностями, не имеющими общих точек – не определяют.
Для всего дальнейшего важнейшую роль играет определение и свойства ортогональных окружностей.

Ортогональные окружности.
Определение: окружности, угол между которыми равен 90 градусам – называются ортогональными или перпендикулярными.


Точка Х, лежащая на окружности С при инверсии относительно окружности В переходит в точку В(Х) и также лежит на С. Иначе говоря – окружность С переходит в себя при инверсии относительно В, В(С)=С (при этом точки С меняются местами, но остаются на окружности С). Это аналогично тому, что прямая, перпендикулярная данной, переходит в себя при симметрии относительно данной прямой.

Перпендикуляр, опущенный на окружность.
Известно, что из данной точки на данную прямую можно провести один и только один перпендикуляр. А через данную точку Х можно провести бесчисленное множество окружностей, ортогональных данной окружности А.. Если окружность В проходит через Х и ортогональна А, то А(Х) – снова лежит на В – это следует из сказанного ранее при описании рис. 14. Поэтому все окружности ортогональные А и проходящие через Х, проходят также и через А(Х).


Также верно, что если окружность проходит через пару сопряженных с А точек, то она ортогональна А. Это можно выразить и так: если одна точка окружности В при инверсии относительно А лежит на В, то и все точки окружности В при инверсии относительно А – снова лежат на В и вся окружность В при инверсии относительно А – переходит в себя А(В)=В. Это как и многие другие свойства инверсии я оставляю без доказательства, т.к. их легко найти в любом хорошем учебнике геометрии. А вот через две точки Х1 и Х2 можно провести одну и только одну окружность ортогональную данной окружности А. В отличие от предыдущего, это мы сейчас докажем. случай когда Х1 и Х2 лежат на окружности А описан ранее (рис. 14). Пусть хотя бы одна из точек, напр. Х1 не лежит на А. Тогда А(Х1) не= Х1. проведем окружность через три точки: А(Х1), Х1 и Х2. Она будет ортогональна А т.к. проходит через пару сопряженных относительно А точек: Х1 и А(Х1). С другой стороны, всякая окружность, проходящая через Х1 и ортогональная А – проходит и через А(Х1). Поскольку она по условию проходит и через Х2, а через три точки проходит только одна окружность – то искомая окружность – единственна. Также она проходит и через А(Х2).


Итак мы доказали, что через пару точек Х1 и Х2 можно провести одну и только одну окружность ортогональную данной. Также по ходу дела мы доказали, что если отразить инверсно любые две точки относительно произвольной окружности А, то две исходные точки и их образы – лежат на одной окружности (ортогональной А). В дальнейшем в этой статье вместо слов "проведем через пару точек окружность, ортогональную А" буду говорить "опустим из пары точек перпендикуляр на А" (по аналогии с перпендикуляром к прямой).

Отметим без доказательств еще следующие свойства инверсии. Пусть есть окружность В и пара сопряженных относительно нее точек Х и Y. Тогда образы точек Х и Y при инверсии относительно произвольной окружности А, будут сопряжены относительно образа окружности В при инверсии относительно A. Это можно записать и так: Если Y=В(Х), и С=А(В) то А(Y) и А(Х) сопряжены относительно А(В). Точно также, если Х и Y – не точки, а сопряженные относительно В окружности: их образы после инверсии относительно произвольной окружности А будут сопряжены с образом В при инверсии относительно А.

Мнимая инверсия.
Дадим еще определение мнимой инверсии. Оно не понадобится нам в этой статье, но будет очень важно в следующих. Вернемся к определению инверсии и рис. 8. Все сохраняется неизменным, кроме одного пункта: Точка О, центр окружности А будет разделять сопряженные при мнимой инверсии относительно А точки Х и Y. Свойства мнимой инверсии во многом отличаются от свойств обычной инверсии: например при мнимой инверсии точки, лежащие на А не остаются неподвижными, а отражаются симметрично относительно центра окружности А. можно представлять мнимую инверсию как композицию: сначала осуществляется обычная инверсия относительно А, а потом – симметрия относительно центра А.

Решение задачи Аполлония. (Для важнейшего частного случая)

Пусть все три исходные окружности А, В, С пересекают друг друга, причем третья окружность разделяет точки пересечения двух других (см. рис. 4). Выберем среди восьми областей, на которые окружности разбивают плоскость ту, которая лежит внутри всех окружностей (она пронумерована цифрой 1) и построим окружность, лежащую в этой области и касающуюся трех исходных. Для это поступим, как и было сказано в начале статьи аналогично построению окружности, вписанной в треугольник. Выберем те биссектрисы окружностей А, В и С – которые проходят через область 1. Например проведем биссектрисы между А и В и между В и С. Одна точка пересечения будет лежать в области 1, а другая в области 8 (вне всех окружностей). по свойству биссектрис, которое верно и для биссектрис окружностей, биссектриса между А и С также пройдет через эти две точки. Обозначим точки пересечения биссектрис, проходящих через область 1: Х1 и Х2.


Теперь, как и в случае с треугольником, опустим перпендикуляры из этих точек на окружности А, В, С. каждый такой перпендикуляр пересекает окружность (которой он перпендикулярен) в двух точках. Одна из этих точек лежит на границе области 1, другая – на границе области 8. Обозначим точки пересечения перпендикуляра на А – А1 и А2, на В – В1 и В2, на С – С1 и С2. причем пусть точка, лежащая на границе области 1 имеет индекс 1, а на границе области 8 – индекс 2. проведем через точки А1, В1 и С1 – окружность. Она и будет искомой, касающейся всех окружностей А, В, С. При этом она лежит внутри области 1 (внутри всех исходных окружностей). Если же мы проведем окружность через точки А2, В2, С2, то она будет лежать внутри области 8 (вне всех трех исходных окружностей), охватывая, как лассо, окружности А, В, С.





Чтобы лучше уяснить расположение окружностей, расположенных в остальных шести областях, воспользуемся аналогией с треугольником. Точнее, мы найдем окружности, касающиеся всех трех прямых (продолженных сторон треугольника).


Три прямые, образующие треугольник, разбивают плоскость на 7 областей. При этом 3 из них ограничены двумя прямыми и в них нельзя поместить окружности, касающиеся всех трех прямых, а 4 области ограничены всеми тремя прямыми и в них есть искомые окружности. Мы проводим все возможные биссектрисы между тремя исходными прямыми (между каждой парой прямых – 2 биссектрисы, а пар прямых всего три поэтому биссектрис всего 2*3=6). Но точек пересечения у этих биссектрис – всего 4 и в каждой сходятся по три биссектрисы. И каждая точка пересечения является центром окружности, вписанной в одну из областей плоскости (каждая точка пересечения биссектрис равноудалена от всех трех прямых).
Чтобы аналогия со случаем трех окружностей стала полней, будем считать (как и делают в геометрии окружности), что прямые – это окружности, пересекающиеся в бесконечно удаленной точке.

Вернемся к окружностям. Допустим, мы хотим найти окружность, лежащую внутри области 5 (внутри окружности В и вне окружности А и С). проведем биссектрисы между А и В и между В и С, проходящие через эту область. Они пересекаются в двух точках Р1 и Р2, причем одна из них будет лежать в области 5, а другая в области 4, которая в своем роде "противоположна" области 5 – там лежат точки, расположенные вне окружности В и внутри окружностей А и С. В этом же смысле противоположны друг другу области 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6.
Как и в случае с треугольником – между В и С, проходящая через область 5 – также проходит через точки Р1 и Р2. Проведем из этой пары точек окружности, перпендикулярные А, В и С. Как и ранее – обозначим точки пересечения перпендикуляра с окружностью, на которую он был опущен через А1, А2; В1, В2; С1, С2. Причем точки А1, В1, С1 лежат на границе области 5, а А2, В2, С2 – на границе области 4. Окружность, проведенная через А1, В1,С1 – лежит внутри области 5 и касается трех исходных, а окружность, проходящая через А2, В2, С2 – лежит внутри области 4 и также касается трех исходных.
Аналогично надо поступить, строя окружности лежащие в оставшихся областях, на которые окружности А, В и С разделили плоскость.

Вопросы.

1. А почему окружность, построенная описанным способом – касается трех исходных?
2. Почему три биссектрисы между окружностями – пересекаются в двух точках?
3. А что будет, если три исходные окружности расположены иначе?

Ответы на первые два вопроса будут даны в следующих статьях, а третий вопрос частично разберем здесь. Рассмотрим случай, когда все три окружности не имеют общих точек и любые две лежат по одну сторону от третьей. Ранее мы определили угол между пересекающимися окружностями и биссектрису между пересекающимися окружностями. Мы назвали А – биссектрисой между В и С если угол между А и В равен углу между А и С и А проходит через точки пересечения В и С. Другое определение было А(В)=С (из того, что инверсия сохраняет углы между окружностями легко следует, что из А(В)=С следует сформулированное равенство углов). Свойство А(В)=С и возьмем за определение биссектрисы и в случае, когда В и С не пересекаются.


Если В и С не пересекаются, есть всего одна биссектриса между ними. Заметим сходство с прямыми на плоскости. Если В и С – параллельные (непересекающиеся) прямые, то есть только одна прямая А, такая, что А(В)=С. А лежит "посередине" В и С.


При этом есть много точечных симметрий, переводящих В в С.
В случае окружностей В и С не имеющих общих точек – также есть еще симметрии, меняющие В и С местами, но о них мы будем говорить в других статьях серии.


Поступим аналогично разобранному случаю. Проведем биссектрисы между А и В и между В и С. Если они пересекаются (а они могут и не пересечься, в этом случае надо определить "пучок" окружностей, что будет сделано в следующих статьях), то проведем соответствующие перпендикуляры. Обозначим точки пересечения перпендикуляров с теми окружностями, на которые они опущены А1, А2, В1, В2, С1, С2 и выберем точки А1, В1, С1 так, чтобы окружность проходящая через них – касалась трех исходных (это всегда можно сделать). Окружность, проходящая через оставшиеся точки: А2, В2, С2 – также будет касаться трех исходных. Заметим что обе проведенные окружности – не разделяют три исходные между собой. Можно провести еще 6 окружностей, касающихся А, В и С.
Проведем теперь какую-нибудь окружность D, разделяющую А от В и С. Перемещая и раздувая D можно получить окружности D1 и D2, касающиеся трех исходных, причем D1 и D2 будут также разделять А от В и С.
Рисунок 25.

Аналогично есть пара окружностей, разделяющая В от А и С и касающаяся исходных и пара окружностей разделяющая С от А и В и касающаяся исходных. Всего получается еще 6 касающихся А, В и С окружностей.
Для того, чтобы объяснить эти и некоторые другие случаи необходимо ввести понятие пучка окружностей и воспользоваться мнимой инверсией что и будет сделано в следующих статьях.