Статья 3.

Разные теоремы про окружности.

Краткое содержание статьи.

Сначала доказываются теоремы о касательных окружностях: о трех взаимнокасающихся окружностях, о четырех окружностях, касающихся друг друга по цепочке, о связи системы касательных окружностей и биссектрисы между двумя окружностями и о системе касающихся окружностей разных типов. Затем доказываются теоремы о пересекающихся окружностях. Доказательство теорем основано на свойствах перестановках четырех или трех точек, при этом предварительное знание теории групп – не требуется. Далее изучаются свойства четырех взаимнокасающихся окружностей и четырех взаимнокасающихся сфер. В завершении доказывается теорема Штайнера с помощью понятия «изоморфизм» и дается определения «изоморфизма» и изучаются свойства пучка окружностей, не имеющих общих точек (мнимого пучка).
Статья, особенно ее вторая часть, может быть использована как введение в методы теории групп.



Три взаимнокасающиеся окружности.


Начнем с простейшей задачи о трех взаимнокасающихся окружностях. Докажем, что если три окружности А, В, С – взаимнокасаются, то окружность, проведенная через три точки их касания – ортогональна всем трем исходным.


Обозначим АВ, АС и СА – точки касания соответственных окружностей, окружность, проведенную через них обозначим О. Пусть О образует с А угол y (считаем все углы расположенные вне О), то В с О образует угол pi–y (т.к. А и В касаются), В с С угол pi–(pi– y)= y. Рассматривая точку АС получим, что А образует с О угол pi– y. Но по предположения А образует с О угол y. Следовательно y=pi–y, следовательно y=pi/2. Отметим, что подобное рассуждение проходит при любом нечетном числе окружностей, попарно, по цепочке касающихся друг друга, если точки их касания лежат на одной окружности (это напоминает лепестки или шестеренки). в этом случае они ортогональны окружности, проходящей через точки касания.
Второе доказательство будет чуточку не строгим. Но демонстрирует очень важный метод. Возьмем произвольную точку Х, проведем через нее три окружности так, чтобы одна касалась А и В в точке АВ, другая – В и С в точке ВС, третья А и С в точке АС.


Все эти окружности пересекутся в одной точке Y (по теореме о пучках пред. статьи). Таким образом произвольной точке Х плоскости ставится в соответствие точка Y I(X)=Y. Отображение I – инверсия, точки АВ, АС, ВС – неподвижны при этой инверсии, значит проходящая через эти точки окружность – есть неподвижная окружность инверсии I (остается неподвижной не только окружность в целом, но и каждая точка на этой окружности). Но при этой инверсии окружности А, В, С – переходят в себя. Значит – они ортогональны окружности инверсии I, которая, как было сказано – проходит через точки касания А, В и С. Что и требовалось.
Найдем центр этой инверсии. при инверсии центр перейдет в бесконечно удаленную точку. Окружности, проходящие через нее – изображаются прямыми. Проведем три прямые, касающиеся окружностей А, В, С в точках их взаимного касания. У них есть общая бесконечно удаленная точка, значит, по теореме о пучках есть и вторая общая точка, которая сопряжен с бесконечно удаленной относительно инверсии I. Она и есть центр инверсии I.


Планиметрически очень просто доказать, что |P, АВ|=|P, AC|=|P, BC|.
Интересно проследить, как переходят друг в друга, меняясь местами при этой инверсии окружности, касающиеся А, В, С и далее.


Окружность Е, касающаяся А, В, С извне (как лассо) перейдет в окружность Е1, касающуюся их изнутри, окружность D в D1 касающуюся Е1 и А, В и т.п.

С помощью изложенного легко доказать следующее. Пусть на окружности А фиксированы две точки Р1 и Р2. Рассмотрим всевозможные пары окружностей, одна из которых касается А в точке Р1, а другая – в точке Р2. Утверждается, что все возможные точки касания этой пары окружностей между собой – лежат на одной окружности, ортогональной А и проходящей через Р1 и Р2.


Утверждается, что точки Q1, Q2, Q3, Q4 – лежат на одной окружности.
Доказательство. По доказанному ранее, окружность, проведенная через Р1 и Р2 и точку касания В1 и С1 – ортогональна А, В1, С1 (т.к. все три касаются друг друга). Эта окружность проходит через Р1 и Р2, лежащие на А. Но через две точки, лежащие на окружности, можно провести единственную ортогональную ей окружность. Следовательно, на этой окружности лежат и точки касания В2 с С2, В3 с С3, В4 с С4 и т.п. что и требовалось.
Теорему можно обобщить. Пусть на окружности А заданы пары точек Р1, Р2 и Q1, Q2 и эти пары не разделяют друг друга. Какие бы окружности В и С такие, что В проходит через Р1 и Р2, а С – через Q1 и Q2 мы не взяли, если они касаются друг друга, то их возможные точки касания лежат на одной окружности, ортогональной А.


Доказательство. Воспользуемся теоремой о пучках и тем фактом, что раз Р1, Р2, Q1, Q2 – на одной окружности, то существует единственная инверсия I такая, что I(P1)=P2, I(Q1)=Q2. При этой инверсии I(A)=A, I(B)=B, I(C)=C т.к. все окружности проходят через пары сопряженных точек и, следовательно – ортогональны окружности инверсии I. Пусть Х – точка касания В и С, значит I(X) – точка касания I(B) и I(C). Но I(B)=B, I(C)=C, значит I(X) – точка касания В и С. Их точка касания – это Х, а второй точки касания у окружностей быть не может, следовательно I(X)=X. Следовательно Х лежит на неподвижной окружности инверсии, определенной парами сопряженных относительно нее точек: (Р1, Р2) и (Q1, Q2), Можно изучить также окружности, проходящие через пары точек (Р1, Q1) и (P2, Q2). Попробуйте доказать, что точки касания этих окружностей также сами лежат на одной окружности, причем ортогональной I! (в том случае, если эти пары не разделяют друг друга. в этом случае просто невозможно, чтобы проходящие через них окружности – касались друг друга).
Заметим, что предельным переходом можно получить из доказанного тот случай, когда В и С касались А. Нужно представить, что точки Р1 и Р2 все ближе и ближе друг к другу, также и точки Q1 и Q2. Тогда В и С будут «почти касаться» А.

Биссектриса и система касающихся окружностей.


Покажем теперь, как с помощь системы касающихся окружностей построить биссектрисы (см. ст. 1) двух данных окружностей. Пусть у нас есть две непересекающиеся окружности А и В. Пусть окружность С1 касается их обеих (не разделяя их между собой), окружность С2 касается А, В и С1 (опять-таки не разделяя эти окружности), С3 касается А, В и С2 и так далее мы добавляем окружности СК, каждая из которых касается А, В и предыдущей окружности.


Теорема о серединной окружности или биссектрисе утверждает, что все точки касания окружностей СК между собой – лежат на одной окружности I и I – биссектриса между А и В, т.е. I(A)=B
Доказательство состоит из двух частей.
Сначала, чтобы ярче проиллюстрировать идею, мы предположим доказанным, что любая окружность, касающаяся А и В (и не разделяющая их) – ортогональна биссектрисе между А и В. Отсюда следует, что точка касания двух таких окружностей при инверсии относительно этой биссектрисы – переходит в себя, т.е. остается неподвижной. (Т.к. она может перейти только в точку их касания, а она – единственна см. пред. теорему). Следовательно, точка касания – обязательно лежит на биссектрисе между А и В, что и требовалось доказать.
Теперь мы докажем, что окружность, касающаяся А и В и не разделяющая их – обязательно ортогональна биссектрисе между ними. В каждой точке Р окружности А можно провести только одну окружность С, касающуюся В (это можно видеть, рассматривая постепенное увеличение окружности С, касающейся А в Р. Сначала С мало и не достает до В, затем – касается, затем – пересекается, затем снова касается, но «с другой стороны», разделяя А и В. Затем не имеет общих точек с В. Построим эту единственную окружность. Пусть I – биссектриса между А и В, тогда I(A)=B. Обозначим образ точки Р при инверсии относительно I, буквой Q. Т.е. I(P)=Q. Всякая окружность, проходящая через Р и Q – ортогональна I. Но через Р и Q всегда можно провести окружность, касающуюся А. (поздней мы разберем разные варианты подобных построений). Пусть С – такая окружность. Т.к. С касается А, то I(A) касается I(C). I(A)=B, I(C)=C (т.к. С проходит через две сопряженные точки) поэтому С касается В. итак, мы нашли окружность, проходящую через Р и касающуюся А и В. Она ортогональна I. Но было доказано, что такая окружность – единственна, поэтому всякая окружность, касающаяся А и В (не разделяя их) – ортогональна I. что и требовалось доказать.

Докажем теперь, что если у нас есть четыре окружности, касающиеся друг друга по цепочке: А касается В, В касается С, С касается D, D касается А, то четыре точки касания – лежат на одной окружности (если среди А, В, С, D – нет разделяющих друг друга окружностей).


Рассмотрим инверсию I отображающую А в С. Как было доказано ранее, В и D – ортогональны этой инверсии. Поэтому при этой инверсии точки касания В с А и С поменяются местами также и точки касания D c А и В поменяются местами. I(P1)=P2, I(P4)=P3. Но как было показано ранее (ст. рис. 16), четверка таких точек – всегда лежит на одной окружности. повторим здесь доказательство: проведем окружность через Р1, I(P1)=P2 и Р4. Она ортогональна I, т.к. проходит через пару сопряженных точек (Р1, Р2), значит на ней лежит и I(P4). Что и требовалось.

Разные случаи расположения окружностей, касающихся двух данных.


Если окружности А и В пересекаются, то окружности, касающиеся их обеих разбиваются на два семейства.


Одно семейство окружностей лежит внутри пересечения А и В и – вне обеих окружностей. Другое семейство – в части А без В и в части В без А. Первое семейство ортогонально одной биссектрисе между А и В, второе – второй биссектрисе. Доказательство этой ортогональности аналогично рассмотренному ранее случаю (когда А и В не пересекались).
Простой частный случай: окружности, касающиеся двух пересекающихся прямых.


Если А и В не имеют общих точек, то также есть два семейства окружностей, касающихся их одновременно.


В одном семействе – окружности, не разделяющие А и В. Члены этого семейства ортогональны биссектрисе между А и В. В другом семействе – окружности, разделяющие А и В. Ранее мы такие окружности не рассматривали. Заметим, что все члены этого семейства – пересекаются между собой. Можно доказать, что есть мнимая инверсия I, такая, что I(A)=B и все окружности второго семейства при этой мнимой инверсии – переходят в себя (иначе говоря, ортогональны мнимой инверсии). Отсюда следует, что при этой инверсии точки касания меняются местами.
Как найти центры этих инверсий (обеих, действительной и мнимой биссектрис)? Есть много способов. Например, проведем прямую через центры окружностей. Центр искомой инверсии будет лежать на ней. Далее – проведем прямые, касающиеся обеих окружностей. Одним способом:


Чтобы найти радиус инверсии достаточно заметить, что при этой инверсии пара точек А1, А2 перейдет в пару точек В1, В2. А2 в В1, А1 в В2. (это можно видеть, напр., построив окружности, касающиеся А и В в этих точках). Поэтому радиус равен корню квадратному из произведения |O, A1|*|O, B1| или из |O, A1|*|O, B2| (предоставляю читателю самостоятельно доказать, что эти произведения равны, используя школьную планиметрию. А какой будет биссектриса, если L1 параллельна L2?) Но можно провести и другую пару касательных прямых к А и В.


Точка их пересечения О снова будет центром инверсии, меняющей местами А и В, но это будет мнимая инверсия. I как и в прошлом случае отображает пару точек А1, А2 в пару точек В1, В2, но теперь I(A1)=B1, I(A2)=B2. Точка О разделяет образ и прообраз при этой инверсии, что есть признак мнимой мнимой инверсии. Радиус этой мнимой инверсии аналогично прошлому случаю, найдем как корень квадратный из произведения |O, A1|*|O, B1| или из |O, A2|*|O, B2|.
Если исходные окружности А и В касаются друг друга, то все окружности касательного пучка (А, В) – иначе говоря: окружности, проходящие через их точку касания и касающиеся А и В – разумеется, касаются А и В. Но обычно члены этого пучка как раз не рассматривают, когда ищут окружности, касающиеся А и В. Тогда остается одно семейство касающихся А и В окружностей. Эти окружности не разделяют А и В и ортогональны единственной биссектрисе между А и В.


Чтобы найти биссектрису между А и В, проведем, как и ранее, прямую через центры А и В и две касающиеся их одновременно прямые.


Если I – биссектриса между А и В, I(A)=B, то точка касания, Р – остается неподвижной, т.е. лежит на окружности инверсии I(P)=P. Центр инверсии, О – точка пересечения L1 и L2, |O, P| – радиус инверсии, I(A1)=B1, |O, A1|*|O, B1|=|O, P|*|O, P|. А сделать рисунок, аналогичный рисунку 14 – при касающихся А и В не удастся. Вернемся к рис. 13. Если точки А2 и В1 очень близки, то он становится похож на рис. 16, который есть «предельный случай» (когда эти точки совпали в точке Р и их уже нельзя разделить).
Предложенный способ построения биссектрис не работает, если одна из исходных окружностей лежит внутри другой.


Предоставляю читателю самостоятельно его разобрать. Впрочем в следующих статьях серии будет показано, как строить биссектрисы вовсе не проводя прямые. (В конце-концов в геометрии окружности не стоит придавать прямым особое значение. Но и глупо было бы не использовать совсем то, чему научились в геометрии прямых, планиметрии).

Разобрав разные виды касающихся окружностей – докажем теорему о них.

Пусть А и В – не имеющие общих точек окружности.


Выберем на А какую-либо точку Р1, проведем через нее окружность С, касающаяся А и В. Она касается В в какой-то точке Р2. Проведем через Р2 окружность D, касающуюся А и В (она будет из другого семейства, чем С). Окружность D касается А в точке Р3. Проведем через Р3 окружность Е, касающуюся А и В (она будет другого семейства, чем D) и будет касаться В в точке Р4.
Утверждается, что окружность, проходящая через точку Р4 и касающаяся А и В (она снова будет другого семейства, чем предыдущая) – снова проходит через Р1 (построение замыкается). Для доказательства используем теорему о пучках (ст. 2)
Рассмотрим 4 окружности А, В, Е, С. Пара (А, Е) – задает один пучок касающихся окружностей, пара В и С – другой. Окружность D лежит в обоих этих пучках, соединяет их. по теореме о двух пучках если соединимы пучки (А, Е) и (В, С) то соединимы и пучки (Е, В) и (А, С) значит существует окружность F касающаяся Е и В в точке Р4 и А и С в точке Р1. Что и требовалось.
Заметим, что мы могли бы начать построение с пересекающихся окружностей F и D и точки Р1, лежащей на F, построили бы касающиеся их с разных сторон окружности А, С, В, Е – теорема утверждала бы, что Е замкнет построение, касаясь А в точке Р3. Заметим еще, что точки Р1, Р2, Р3, Р4 – лежат на одной окружности, ортогональной всем шести окружностям рис. 18. Это следует из того, что окружность, проходящая через точки Р1, Р3, Р3 ортогональна А, С, D – т.к. эти три окружности все касаются друг друга в этих точках. Также и про оставшиеся три окружности доказывается, что они ортогональны проведенной через точки касания окружности.
Теперь мы отдохнем от касающихся окружностей и рассмотрим теоремы о пересекающихся.

Теоремы о пересекающихся окружностях и перестановки четырех точек.


Ранее для доказательства теорем нам было достаточно заметить, что те или иные точки или окружности симметричны относительно некоторой инверсии. Теперь нам понадобится рассматривать композиции инверсий, то есть последовательное применение нескольких инверсий.
Нам понадобится следующий факт: если отображение f – композиция нескольких инверсий и f оставляет неподвижными какие-то три точки, то f – или оставляет неподвижными все точки плоскости, или f – инверсия. Полное доказательство будет дано в ст. 6., пока мы будем пользоваться этим фактом без доказательства и обозначим его для краткости восклицательным знаком (!). Доказательство основано на том, что если есть три неподвижные точки, то неподвижны и все точки на окружности, проходящей через эти три точки. А раз есть окружность, все точки которой неподвижны, то f может быть только инверсией относительно этой окружности (или же «неподвижным движением, нулем»). сравним это с движениями на обычной плоскости, симметриями прямых. Если при каком-то движении остаются неподвижными все точки на какой-то прямой, то это движение – или симметрия относительно это прямой, либо – тождественное движение. Если же при движении есть две неподвижные точки, то неподвижны и все точки на прямой, проходящей через них.
Из этого факта мы сейчас извлечем много теорем про окружности.
Напомним ст. 2, рисунок 8.


Заметим, что т.к. пара (A, D) разделяет пару В, С то последняя инверсия, f3 – мнимая. (прямые (А, D) и (В, С) пересекаются в центре инверсии f3 и он разделяет точку А и ее образ D=f3(A).
Докажем, пользуясь (!), что любые две рассматриваемые инверсии – коммутируют друг с другом. (Коммутирующими называют отображения или операции, если их результат не зависит от порядка исполнения. т.е. f и g коммутируют равносильно тому, что f(g(x))=g(f(x)) для всех х.)
Рассмотрим например инверсии f1 и f2.
Покажем, что f1(f2(A))=f2(f1(A)). В самом деле: f2(A)=C, f1(C)=D; f1(A)=B, f2(B)=D. Совершенно аналогично проверяем, что f1(f2(B))=f2(f1(B)), f1(f2(C)=f2(f1(C), f1(f2(D)=f2(f1(D).
То есть f1 и f2 коммутируют между собой на четырех точках: А, В, С, D. Аналогично показывается, что все f1, f2, f3 – коммутируют между собой на этих точках. Теперь немного модифицируем (!). Сформулируем его так: «если два отображения, полученные композицией инверсий совпадают на трех точках, то они либо совпадают на трех точках, либо отличаются на инверсию относительно окружности, проходящей через эти три точки.
Обозначим эти точки Х1, Х2, Х3. Нам дано: f(X1)=g(X1), f(X2)=g(X2), f(X3)=g(X3). Пусть h – обратное к f отображение (т.е. h(f(X))=X=f(h(X)) для всех точек Х, h – перемещенные f обратно, на исходные позиции и потому их композиция – ничего не меняет). Рассмотрим отображение h(g(X)). Легко видеть, что h(g(X1))=Х1, h(g(X2))=Х2, h(g(X3))=Х3.
Если h(g(X))=X то f(X)=X, т.е. f и g совпадают на всех точках. Если же h(g(X))=I(X) где I – некоторая инверсия то f и g отличаются на инверсию.
Применим эту модификацию к функциям f1(f2(X)) и f2(f1(X)). Мы показали, что они совпадают не только на трех, но даже на четырех точках А, В, С, D. Значит, они совпадают на всех точках, или отличаются на инверсию. Можно доказать, что если преобразование получено четным числом инверсий (такие преобразования называют собственными), то оно не может быть получено нечетным числом инверсий (аналогичный факт имеет место и при выполнении симметрий относительно прямых. И причина одна и та же: инверсии, как и симметрии относительно прямой – меняют оринетацию фигур на противоположную). Поэтому f1(f2(X)) и f2(f1(X)) не могут отличаться на инверсию: обе они состоят из двух симметрий).
Можно же доказать требуемое иначе. инверсия относительно окружности меняет местами ее внутренность и внешность. Но отображения f1 и f2 обе преобразуют внутренность окружности, проходящей через А, В, С, D во внутренность, а внешность – во внешность. Значит и их композиция тоже. Значит их композиция не может отличаться на инверсию, относительно этой окружности. Что и требовалось.
Если же мы рассмотрим f1(f3(X)) и f3(f1(X)) то заметим, что f3 переводит внутренность этой окружности во внешность (таково свойство мнимой инверсии!) а f1, как было уже сказано – внешность во внешность, а внутренность ее во внутренность. Поэтому обе сравниваемые композиции переводят внутренность этой окружности во внешность. Но отсюда следует, что они также не могут отличаться на инверсию относительно окружности, проходящей через А, В, С, D. Это могло бы иметь место, если бы одна композиция переводила бы внешность во внутренность, а другая – внутренность во внешность, в этом случае – инверсия бы вернула все на свои места. Итак мы доказали что: f1(2(X))=f2(f1(X)), f1(3(X))=f3(f1(X)), f3(2(X))=f2(f3(X)). Иначе говоря, что все три инверсии коммутируют между собой. Превратим это несколько абстрактно звучащее утверждение в наглядную теорему про окружности. Назовем эту теорему «теоремой о двух ортогональных окружностях или теоремой о восьми окружностях». (Почему именно восьми, станет ясно из рисунка 20.) Рассмотрим отображение f1(f2(f1(f2(X)))). Т.к. f1 и f2 коммутируют, то оно равно f1(f1(f2(f2(X)))) а поскольку любая инверсия, дважды примененная – возвращает все точки на плоскости на свои места, то есть дает тождественное движение, то рассматриваемое отображение – также возвращает все на свои места. Теперь мы построим отображение f1(f2(f1(f2(X)))) пользуясь теоремой о пучках.


Теорема о восьми окружностях и утверждает, что наше построение замкнется, то есть мы обязательно вернемся в точку Х. Доказательство. Из второй части ст. 2 (или теоремы о пучках) следует, что Y=f1(X), Z=f2(f1(X)), H=f1(f2(f1(X)). Вторая точка пересечения окружности, проходящих через H и А, В с окружностью, проходящей через Н и С, D будет f2(f1(f2(f1(X)))). Но как было показано, f2(f1(f2(f1(X))))=Х для всех Х. Следовательно наше построение замкнется в той точке, откуда началось, что и требовалось доказать.


Сформулируем теорему чуть иначе:
Пусть даны четыре точки А, В, С, D, лежащие на одной окружности. Кроме того нам известно, что все четверки точек: (Х, А, С,Y), (X, B, D, Y), (Z, C, D, Y), (Z, A, B, Y), (Z, A, C, H), (Z, B, D, H) – лежат каждая на своей окружности. Тогда, утверждает теорема, на одной окружности лежат точки (Н, A, B, X), а на другой (H, C, D, X).

Переведем дух и рассмотрим композицию h(X)=f1(f2(f3(X))). Заметим, что h(h(X))=X (иначе говоря, что h(X) – инволютивно). В самом деле: h(h(X))=f1(f2(f3(f1(f2(f3(X)))))). Поскольку f1, f2, f3 все коммутируют между собой левая часть приводится к виду f1(f1(f2(f2(f3(f3(X)))))). Но f1(f1(X))=X, f2(f2(X))=X, f3(f3(X))=X поэтому вся левая часть равна Х. Значит h(h(X))=X. Итак, h(X) – инволютивно. Покажем, что h – это инверсия относительно окружности, проходящей через А, В, С, D. Сначала покажем, что h неподвижна на точках А, В, С, D.
f1(f2(f3(А)))=f1(f2(D))=f1(B)=A. Аналогично получаем для точек В, С, D. Значит h – или инверсия, или оставляет неподвижными все точки плоскости. Рассматривая внешность и внутренность окружности, проходящей через А, В, С, D видим, что h переводит внутренность этой окружности во внешность (f1 и f2 переводят внутренность во внутренность, а f3 – во внешность. Значит их композиция переводит внутренность во внешность, что и требовалось). Значит h – инверсия, относительно окружности, проходящей через А, В, С, D. (Мы могли получить это и воспользовавшись тем, что h – композиция трех инверсий, а композиция нечетного числа инверсий – не может оставлять неподвижными все точки). Напомним, что раз f1, f2, f3 все коммутируют между собой, то h(x)= f1(f2(f3(X)))= f2(f1(f3(X)))= f2(f3(f1(X))) и так далее, можно переставлять операции в любом порядке.
Назовем доказанную теорему «теоремой о четырех ортогональных (или коммутирующих) инверсия» (три инверсии это f1, f2, f3, а четвертая – h= f1(f2(f3(X)))). Заметим, что раз h(X) инверсия, относительно окружности, то, если A1, B1, C1, D1 – какие-то другие точки на той же окружности, что и А, В, С, D то h(X) будет той же самой точкой, иначе говоря, h(X) не зависит от положения точек А, В, С, D на окружности. проиллюстрируем эту теорему и сформулируем ее более «геометрично».


Согласно второй части ст. 2 Y=f1(X), Z=f2(f1(X)), P=f3(f2(f1(X)))=h(X) (последнее равенство только что доказано нами). Поэтому каковы бы ни были точки А, В, С, D лежащие на окружности h точка Р есть образ точки Х при инверсии относительно h.
Окончательно сформулируем теорему о четырех ортогональных окружностях в «геометрическом виде».
Пусть А, В, С, D – четыре произвольные точки на данной окружности h. Х – произвольная точка вне этой окружности и все перечисленные четверки точек – лежат на одной окружности (каждая четверка, разумеется, на своей окружности). (X, A, C, Y), (X, B, D, Y), (Y, C, D, Z), (Y, A , B, Z), (Z, A, D, P), (Z, B, C, P) – тогда точка Р есть образ точки Х при инверсии относительно h, т.е. P=h(X), каковы бы ни были А, В, С, D, лежащие на h.

Тройственные симметрии.


Эти теоремы начнем доказывать и формулировать не используя чертежи, «не глядя». Предыдущие теоремы мы доказывали, изучая действия разных отображений на 4 точки А, В, С D. В тех случаях, когда композиция отображений оставляла неподвижными все эти точки – мы получали геометрическую теорему. Но как отмечено (!) достаточно для теорем будет, если неподвижными остаются три точки (а не четыре!). Посмотрим, нельзя ли определить инверсию, используя всего три точки А, В, С? Можно. Представим, что в предыдущем случае точки С и D приближаются друг к другу. В пределе мы получим f1(A)=B, f1(C)=C (потому что точка D сравняется с С). Иначе говоря, при инверсии – точки А и В меняются местами, а точка С – остается неподвижной (т.е. лежит на окружности инверсии). Легко видеть, что точки А, В, С определяют три возможные инверсии f1, f2, f3 такого типа:
f1(A)=B, f1(C)=C
f2(A)=C, f2(B)=B
f3(B)=C, f3(A)=A
При каждой такой инверсии две точки из трех рассматриваемых меняются местами, а третья – остается неподвижной. Теперь мы изучим свойства этих трех инверсий и свойства их композиций и даже найдем углы между неподвижными окружностями этих инверсий. И все это мы сделаем – не гляди на сами инверсии, не пользуясь никакими чертежами и рисунками!
Рассмотрим, например, h=f1(f2(f3(X))). Определим, как действует эта композиция всех трех инверсий на трех точках А, В, С. h(A)= f1(f2(f3(A)))=f1(f2(A))=f1(C)=C; h(B)= f1(f2(f3(B)))=f1(f2(C))=f1(A)=B; h(C)= f1(f2(f3(C)))=f1(f2(B))=f1(B)=A. Итак: h(A)=C, h(C)=A, h(B)=B. Мы увидели, что h оставляет неподвижной точку В и меняет местами А и С, на точках А, В, С отображение h совпадает с f2. Значит, они либо совпадают на всех точках, либо отличаются на инверсию. Но поскольку они оба состоят из нечетного числа инверсий (h из трех, а f2 – из одной) то они не могут отличаться на одну инверсию. Значит – они совпадают на всех точках.
Итак f1(f2(f3(X)))= f2(X). совершенно аналогично мы получим, что, например f3(f1(f2(X)))=f1(X) и вообще композиция в любом порядке всех трех рассматриваемых инверсий – снова инверсия, причем именно та, которая осуществлена второй в этой композиции. А чему равно, например f1(f2(X))?
Опять-таки, рассмотрим как действует эта композиция f1(f2(X)) на точки А, В, С
f1(f2(А))=f1(C)=C
f1(f2(C))=f1(A)=B
f1(f2(B))=f1(B)=A
Итак, f1(f2(А))=C, f1(f2(C))=B. f1(f2(B))=A, т.е. f1(f2(X)) сдвигает А в С, С в В, В в А. циклически передвигая (А, С, В) – каждый символ в следующий, при этом конец склеен с началом. Легко убедиться, что если мы применим f1(f2(X)) трижды то все три точки будут неподвижными. f1(f2(f1(f2(f1(f2(X))))))=X если X=A или если X=B или если X=C. Или (f1*f2)3(X)=X (в точках А, В, С) Здесь мы обозначили f1*f2 композицию f1(f2(X)) и указали, что применили ее трижды. Т.к. в этой композиции шесть инверсий (две инверсии f1 и f2, примененные трижды, всего инверсий осуществляется 2х3=6), то результат не может быть одной инверсией. Т.к. он оставляет неподвижными три точки А, В, С – и не является инверсией, то он – оставляет неподвижными все точки плоскости. Итак (f1*f2)3(X)=X для всех точек плоскости, или (f1*f2)3=е (буквой е – обычно обозначают движение, оставляющее все точки плоскости неподвижными, как О в сложении или поворот на нулевой угол и т.п.) Аналогично показывается, что (f3*f2)3=е и (f1*f3)3=е.
Теперь, когда мы определили свойства композиций составленных из инверсий f1, f2, f3 – найдем, какой геометрический, наглядный смысл у этих свойств. прежде всего, докажем лемму:
Если P и Q – две действительные инверсии и (P*Q)n=e (т.е. если их выполнять одну за другой, то рано или поздно мы придем в исходное состояние, все точки вернутся на свои места), то P и Q – пересекаются. Докажем от противного. Предположим, что P и Q не пересекаются. Тогда их композиция P*Q последовательно применяемая постепенно стягивает все точки к центру пучка, образованного этими окружностями (вопрос, как именно двигаются точки при последовательном применении этой композиции, или каковы траектории точек – очень интересен, мы его обсудим в отдельной статье). Но если точки постепенно стягиваются, то они никогда не вернутся на прежнее место. Поэтому, если P и Q не пересекаются, то (P*Q)n=e – невозможно. что и требовалось.
Прежде чем применить лемму, заметим, что f1, f2, f3 – действительные инверсии, т.к. в каждом случае есть неподвижная точка. Будем теперь обозначать f1, f2, f3 – не только инверсии, но и те окружности, относительно которых они осуществляются. Раз (f1*f2)3=е, то по лемме f1 и f2 – пересекаются. Обозначим точки пересечения P и Q, осуществим какую-нибудь инверсию с центром в P, тогда f1 и f2 перейдут в прямые, причем композиция симметрий относительно этих прямых (см ст. 2) – есть поворот на удвоенный угол между ними. Пользуясь этим легко определить угол между прямыми, поскольку нам известно, что примененный трижды этот поворот вернет все на свои места. Пусть угол между f1 и f2 равен y, т.к. при инверсии углы сохраняются, то угол между прямыми, в которые перешли f1 и f2 также равен y. Тогда (2*y)*3=360, отсюда y=60 градусов. Аналогично получаем, что угол между f2 и f3 и между f3 и f1 равен 60 градусам. Покажем теперь, что все три окружности f1, f2, f3 – пересекаются в двух точках P и Q (т.е. лежат в одном пучке). Мы уже доказали, что h(X)=f1(f2(f3(X)))=f2(X) т.е. что композиция трех инверсий – снова инверсия. Это возможно, только если эти инверсии – из одного пучка (за исключением случая, когда все три инверсии ортогональны друг другу) (Доказательство этого свойства композиций трех инверсий будет дано в следующих статьях). Значит f1, f2, f3 – все проходят через две точки P и Q и образуют друг с другом углы в 60 градусов. Теперь, когда мы определили основные геометрические свойства инверсий f1, f2, f3 нарисуем их.


Вернемся к исходным точкам А, В, С. Как, зная их, построить окружности f1, f2, f3?


Центр f1 лежит на прямой (А, В). Обозначим его О. можно написать уравнение, связывающее расстояния: |O, A|*|O, B|=R*R=|O, C|*|O, C| (где R – радиус инверсии f1). Исходя из него, нетрудно найти O. можно же построить окружность f1 не находя ее центр. Т.к. f1 лежит во мнимом пучке с центрами А и В, то f1 ортогональна всем окружностям, проходящим через А и В. проведем две любые такие окружности и инвертируем точку С относительно них, окружность, проведенная через С и две полученные точки – будет ортогональна двум окружностям, проходящим через А и В, и, следовательно – лежат в мнимом пучке с центрами А и В (см. ст. 2 о пучках). Совершенно аналогично поступаем, чтобы найти окружности f2 и f3. Теперь покажем, как находить образы точек при инверсии f1. Используем, как обычно, идеи теоремы о пучках ст. 2.


Чтобы построить образ точки Х при инверсии f1, как и обычно мы построим две окружности, переходящие в себя при инверсии f1 и проходящие через Х. Тогда вторая точка пересечения этих окружностей и будет f1(X). Окружность, проходящая через Х, А и В и будет ортогональна f1, т.к. f1(A)=B. Докажем, что окружность, касающаяся окружности О (проходящей через А, В, С) в точке С – также ортогональна f1. Обозначим эту окружность H. Окружность О – проходит через А и В и потому ортогональна f1. f1(C)=C, следовательно С лежит на f1. H, f1 и О все проходят через С и по условию H и О касаются друг друга. Следовательно f1 образует в точке С одинаковый угол с О и H. Т.к. угол с О – прямой, следовательно, угол между f1 и H – также прямой.


Значит f1(H)=H, что и требовалось доказать. Значит, вторая точка пересечения H с окружностью, проходящей через А, В, Х и будет искомой f1(X). аналогично находим f2(X) и f3(X). Это и изображено на рис. 24.
Если прилежно выполнить построения например для утверждения (f1*f2)3=e (т.е. f1(f2(f1(f2(f1(f2(X))))))=X), то может получиться красивая иллюстрация, напоминающая восточные рисунки.
Сейчас я подытожу рассмотрение тройственной симметрии в таком виде: Пусть даны три произвольные точки А, В, С, окружность f1 проходит через С и f1(A)=B, окружность f2 через В и f2(A)=C, окружность f3 через А и f3(В)=С. Тогда f1, f2. f3 все пересекаются в двух точках и образуют между собой углы в 60 градусов. Или так: Через каждую из трех точек проведена окружность, сопрягающая две оставшиеся. Три полученные окружности пересекаются в двух точках и образуют углы между собой в 60 градусов. Заметим еще, что точки пересечения этих трех окружностей, P и Q – симметричны относительно О, проходящей через исходные точки А, В, С (т.к. эта окружность ортогональна f1, f2, f3). Четверки точек А, В, С, Р или А, В, С, Q обладают рядом интересных свойств, которые я надеюсь рассмотреть в других статьях.

Прежде чем перейти к следующей теме, докажем простую теорему. При инверсии окружности переходят в окружности. Определим инверсию через пары сопряженных точек (так мы обычно и поступаем, начиная со ст. 2) и получим новую теорему о семи окружностях.


Теорема утверждает, что если P,S, A, B – на одной окружности, то и C, D, T, Q – на одной окружности. Для доказательства достаточно указать, что при инверсии I, такой что I(A)=C, I(B)=D (такая инверсия существует, как показано в ст. 2) I(P)=Q, I(S)=T, Если прообразы P,S, A, B – лежат на одной окружности, то их образы I(A)=C, I(B)=D, I(P)=Q, I(S)=T – также лежат на одной окружности. что и требовалось.

Четыре касающиеся друг друга окружности.


Есть какая-то притягательность в рисовании четырех касающихся друг друга окружностей. многие делали это в детстве. По крайней мере – если нарисованы три, так и тянет дорисовать четвертую. Нарисуем и мы.


Обозначим 6 точек касания с помощью касающихся в этих точка окружностей. Точка АВ (или ВА) – точка касания окружностей В и А и т.п. Эти шесть точек АВ, АС, СD, СВ, DВ, АD – обладают рядом замечательных свойств. Например АВ, АD, DC, CB – сами лежат на одной окружности. Доказательство: ведь эти четыре окружности касаются друг друга по цепочке. Рассмотрим инверсию I, меняющую местами окружности А и С. Окружности В и D при этом останутся неподвижными (т.к. они касаются их обеих) I(B)=B, I(D)=D. Значит I(AB)=(CB), I(AD)=CD, т.е. в перечисленной четверке точек есть две пары сопряженных относительно I, следовательно эта четверка лежит на одной окружности. что и требовалось. Можно провести три таких окружности, они обозначены на рис. 27.
Сгруппируем теперь шесть точек касания иначе. Отбросим из четырех окружностей какую-то, например А. Останутся три окружности, касающиеся друг друга в трех точках. Проведем через них окружность, обозначим ее SA. по первой теореме в этой статье – она ортогональна всем трем оставшимся окружностям B, C, D. Аналогично построим окружности SB, SC, SD (отбросив одну окружность и проведя окружность через три точки касания оставшихся между собой).


Докажем, что все четыре окружности SA, SB, SC, SD – касаются друг друга!
Рассмотрим, например SA и SB. Первая окружность проходит через BC, CD, и DB (точки касания окружностей В, С, D), вторая через АС, СD, и AD (точки касания А, С, D) Покажем, что в точке СD окружности SA и SB – касаются. В самом деле, SA и SB по построению ортогональны С (и D тоже). Но если две окружности ортогональны третьей и имеют на ней общую точку – то они касаются друг друга в это общей точке. Это было доказано в комментарии к рис. 25.
Теперь докажем чуть-чуть иначе:


Касательная к SA в точке CD ортогональна касательной к С в этой точке и касательная к SB ортогональна к этой же касательной в этой же точке (т.к. обе окружности ортогональны к С). Значит касательные к SA и SB совпадают в точке СD. Значит SB и SA касаются друг друга в точке CD. Что и требовалось.
Проведем теперь окружность Е, касающуюся А, В, С – охватывая их, как лассо.


Точки касания с Е обозначим АЕ, ВЕ, СЕ. Заметим, что Е симметрично с D относительно окружности, проходящей через АВ, АС, СВ, ранее мы обозначили эту окружность SD. Точки АЕ, АС, АD и AB (все лежащие на одной окружности А) образуют «гармоническое отношение» (одно из важнейших понятий проективной геометрии и геометрии окружности). В других статьях мы поговорим подробней об этом отношении, по же замечу, что из многочисленных определений гармонического отношения это – нагляднейшее. Заметим еще, что точки АВ, АD, DC, CB (лежащие, как показано выше на одной окружности)– так же образуют гармоническое отношение). Мы еще вернемся к изучению 4 касающихся друг друга окружностей и шести точек их касания в других статьях. пока же рассмотрим:

Четыре касающиеся друг друга сферы.


Три касающиеся друг друга окружности имеют три точки касания. Эти три точки касания заведомо лежат на одной окружности, т.к. через три любые точки можно провести единственную окружность. 4 касающиеся друг друга сферы имеют шесть точек касания. 6 точек в пространстве вовсе не обязательно лежат на одной сфере (сферу задают 4 точки не лежащие на одной окружности). Докажем, что все 6 точек касания 4 сфер – лежат на одной сфере. Нам потребуются две леммы.
1. Если сферы А, В, C, D касаются друг друга по цепочке (не разделяя друг друга), то точки их касания лежат на одной окружности.
2. Три взаимно пересекающиеся в 6 точках окружности лежат на одной сфере.
Первое можно доказать, рассматривая инверсии в пространстве, аналогично тому,
как мы поступали, рассматривая 4 касающиеся друг друга по цепочке окружности. Но можно доказать иначе. Пусть А касается В, В касается С, С касается D, D касается А. Точки касания обозначим соответственно АВ, ВС, СD, DA. Проведем через эти четыре точки касания какую-нибудь сферу S. Она пересечет сферу А по окружности, обозначим эту окружность SA, сферу B по окружности SB, сферу С по окружности SC, сферу D по окружности SD. Окружности SA, SB, SC, SD касаются друг друга по цепочке в тех же точках, что и сферы А, В, С, D. Значит, эти точки лежат на одной окружности (т.к. точки касания построенных окружностей – лежат на одной окружности). что и требовалось.
Докажем 2. Две пересекающиеся окружности задаются четырьмя точками (две точки пересечения и еще по одной точке на каждой окружности). Проведем через эти четыре точки сферу, обе пересекающиеся окружности лежат на ней. Третья окружность по условию, пересекается с этими двумя в разных точках, поэтому имеет с этой сферой 4 общие точки, значит – лежит на этой сфере. Что и требовалось.
Теперь докажем, что шесть точек касания сфер А, В, С, D – лежат на одной сфере.
Для доказательства мы используем построение, аналогичное рис 27. Мы будем группировать сферы А, В, С, D так, чтобы они образовывали цепочку, точки касания будут лежать в каждом случае – на одной окружности, эти окружности пересекаются (в точках касания сфер). Поэтому окружности, а значит и точки касания сфер – лежат на одной сфере. Точки касания сфер будем обозначать аналогично тому, как обозначали точки касания окружностей. Именно: точки АВ, ВС, CD, DA – на одной окружности S1, АС, СD, DB, BA – на одной окружности S2, AD, DB, BC, CA – на одной окружности S3.
Рассмотрим три окружности S1, S2, S3. S1 пересекается с S2 в точках CD, BA. S1 пересекается с S3 в АD и ВС. S2 пересекается с S3 в АС и DB. По лемме 2 S1, S2, S3 лежат на одной сфере. Значит на одной сфере лежат и все точки касания А, В, С, D. Обозначим эту сферу S. Если провести ее и изобразить ее пересечение со сферами А, В, С, D то получим рисунки 27 и 28. S ортогональна всем четырем исходным сферам. Но это мы здесь доказывать не будем.

Теорема Штайнера о системе касающихся друг друга окружностей.


Напоследок мы в этой статье докажем теорему Штайнера. Доказательство покажет нам эффективность понятия изоморфизм и даст повод подробней рассмотреть мнимый пучок окружностей. Формулировка теоремы: Пусть есть две окружности А и В, в лежит внутри А. возьмем произвольную окружность С1, лежащую внутри А, вне В и касающуюся их обеих. построим теперь систему окружностей С2, С3, С4… такую, что каждая из них касается предыдущей и обе исходные окружности А и В.


Возможно, что как изображено на рисунке, построение замкнется, какая-нибудь окружность СК коснется С1. Тогда можно подсчитать, сколько окружностей участвует в цепочке. возможно, что построение никогда не замкнется. Теорема утверждает, что результат (количество окружностей в цепочке и замыкается ли она) не зависит от выбора окружности С1, стартовой окружности для построения. Т.е., что если мы возьмем какую-нибудь другую окружность D1 касающуюся А и В и расположенную вне В и внутри А и построим цепочку окружностей D1, D2, D3… то если замыкается цепочка СК, то замыкается и цепочка DК и число окружностей в двух цепочках – одинаково.
Доказательство.
1. предположим, что окружности А и В – концентрические, т.е. их центры – совпадают.
Рисунок 32.

Тогда мы можем повернуть все окружности в цепочке относительного общего центра А и В так, чтобы окружность С1 совпала с окружностью D1 легко видеть, что при этом окружность C2 совпадет с D2 и окружность СК с окружностью DK. Сами же окружности А и В – останутся на месте. Тем самым установлен изоморфизм между цепочками СK и DK (точное определение изоморфизма см. в конце статьи) двух цепочек СК и DК. Все свойства одной есть и у другой. Значит в них одинаковое число окружностей. Что и требовалось.
2. Общий случай. Окружности А и В не концентрические. Покажем, что в этом случае можно с помощью одной инверсии перейти к концентрическим окружностям. Пусть P и Q – центры пучка, образованного окружностями А и В. Осуществим какую-нибудь инверсию I с центром в одном из центров пучка, например, в Р. Р перейдет в бесконечно удаленную точку. Рассмотрим пучок, образованный окружностями С=I(B) и I(A)=D. его центры – I(P) и I(Q). I(P) – бесконечно удаленная точка. Т.к. бесконечно удаленная точка сопряжена с центром окружности (относительно этой окружности), то центры окружностей С и D – совпадают (и являются вторым центром пучка, образованного С и D, точкой I(Q)).
Дадим и второе доказательство этого факта. Рассмотрим пучок окружностей, ортогональных А и В. все они проходят через P и Q. при любой инверсии I с центром в Р окружности этого пучка перейдут в прямые, пересекающиеся в точке I(Q).
Окружности I(A) и I(B) должны быть ортогональны всем этим прямым. Но это возможно, только если их центры – совпадают и есть точка пересечения этих прямых, т.е. I(Q). (Прямая ортогональна окружности тогда и только тогда, когда проходит через ее центр). Следовательно, I(A) и I(B) – имеют общий центр. Итак, мы доказали что одной инверсией можно перевести две произвольные, не имеющие общих точек окружности в концентрические окружности. Значит, пучок окружностей, не имеющих общих точек устроен также, как пучок концентрических окружностей. Аналогично этому, пучок пересекающихся окружностей подобен (или изоморфен) пучку прямых, проходящих через одну точку.
Теперь докажем теорему Штайнера.
Пусть цепочка C1, C2, C3, … замыкается на шаге К, т.е. СК касается C1. покажем, что и любая другая цепочка D1, D2, D3, … замкнется на этом же шаге К. Рассмотрим инверсию I, отображающую А и В в концентрические окружности. Цепочка СК перейдет в цепочку I(C1), I(C2), I(C3),… построенную уже на концентрических окружностях I(A) и I(B), цепочка DK в цепочку I(D1), I(D2), I(D3),… также построенную на I(A) и I(B). Ранее было доказано, что если I(C1) касается I(CK), то и I(DK) касается I(D1) (т.к. это цепочки построенные на двух концентрических окружностях). Но если I(DK) касается D1, то DK касается D1 (инверсия переводит касающиеся окружности в касающиеся). Что и требовалось.
Заметим, что у данной теоремы есть и более короткое доказательство. Необязательно рассматривать концентрические окружности. Пусть на рис. 31 есть две цепочки окружностей: С1, С2,… СК и D1, D2,… DK. С помощью композиции двух инверсий можно отобразить С1 в D1 так, что А и В останутся неподвижными, С2 перейдет в D2 и т.д. Это докажет, что у цепочек СК и DK – одинаковые свойства, т.е. если замыкается одна, то замыкается и другая и число звеньев – одинаково. Мы не будем рассматривать здесь эту композицию, предоставляю читателю сделать это самостоятельно. Впрочем эта композиция будет указана в статье, где мы разберем траектории движения точек и окружностей.
Рассмотренное доказательство дало нам повод свести свойства пучка окружностей, не имеющих общих точек к свойствам семейства концентрических окружностей. Для концентрических окружностей тривиально доказать, что композиция трех инверсий – снова инверсия (относительно окружности из этого же концентрического пучка), а композиция двух инверсий – подобие (или гомотетия) с центром в центре окружностей. (Отсюда и следует, что композиция трех инверсий – снова инверсия).

В ходе доказательства теоремы Штайнера (а на самом деле и во многих других местах) мы использовали понятие «изоморфизм». Это – очень общее понятие, используемое во многих разделах математики.. В школьной геометрии его аналог – понятие «конгруэнтности фигур». Сейчас я дам определение изоморфизма, пригодное в контексте геометрии окружности. Пусть у нас есть два набора объектов (точек, окружностей или каких-то других объектов). Первый набор: P1, P2, P3,… Второй: Q1, Q2, Q3,… И есть взаимнооднозначное отображение f из первого набора во второй: f(P1)=Q1, f(P2)=Q2, f(P3)=Q3 и т.д. причем все свойства между объектами первого набора (углы, симметричность и т.п.) не изменяются при отображении f. Тогда отображение f называется изоморфизмом между двумя этими наборами объектов.
Если нам надо доказать что-то про объекты Р1, Р2, Р3… и f – изоморфизм, то мы можем доказать требуемое для f(P1), f(P2), f(P3)… Результат будет верен и для объектов Р1, Р2, Р3… Мы пользовались этим часто, например, когда использовали инверсию I, превращающую некоторые окружности в прямые и доказывали теорему про прямые, что было привычней. Например, так устроено «школьное», первое доказательство теоремы о пучках. Также мы устанавливали изоморфизм между пучком пересекающихся окружностей и пучком прямых, проходящих через одну точку, а недавно мы установили изоморфизм между пучком окружностей не имеющих общих точек и концентрическими окружностями.

Изоморфизм в математике – тоже, что точное сравнение в литературе.