Статья 5.

Исчисление симметрий.

Краткое содержание.

Статья начинается с несколько абстрактных рассуждений, которые помогут нам изучать композиции симметрий. Затем изучаются композиции симметрий относительно прямых на плоскости и доказывается, что любая такая композиция есть или поворот или параллельный перенос или композиция симметрий относительно точки и прямой.
Перед тем, как изучать композицию инверсий относительно окружности определяется «абстрактная группа движений». Далее изучается, в каких случаях композицию четырех инверсий можно свести к композиции двух инверсий и доказывается, что композиция любого числа инверсий сводится к композиции четырех инверсий (действительных или мнимых).
Затем кратко изучаются некоторые свойства симметрий в евклидовом пространстве. В конце статьи изучается и определяется симметрия относительно двух ортогональных окружностей (биплетная симметрия), демонстрируется ее сходство с симметриями в пространстве и ее связь с гармоническим отношением.
Все перечисленные темы так, чтобы показать единство методов и идей и применение важных понятий теории групп.



Сопряженные движения.


Я начну с несколько абстрактного рассуждения. Впрочем, одна из целей этой статьи – показать, что кажущиеся абстрактными рассуждения и символическая запись помогают понять геометрию.
До сих пор не обращали внимания на различие между инверсией и той окружностью, относительно которой она проводится, между прямой и симметрией относительно этой прямой. Обозначали их одним и тем же символом, одной и той же буквой. Из контекста становилось ясно – о чем речь. Между тем это – совершенно разные вещи.
Для нас важно, что симметрия относительно прямой или окружности однозначно задается указанием этой прямой или окружности. Иначе говоря, эти симметрии однозначно задаются множеством своих неподвижных точек.
Пусть у нас есть две окружности А и В (или прямые, если мы изучаем не геометрию окружностей, а геометрию обычной, евклидовой плоскости). мы можем рассмотреть композицию этих симметрий А*В. Это – новое движение плоскости. Оно уже не будет симметрией (в общем случае). Но, поскольку симметрии относительно А и В оставляет неизменными какие-то свойства фигур, то и их композиция не изменит эти свойства. Мы можем рассмотреть также А(В) и В(А). Это – уже не будут движения. Это будут фигуры (в нашем случае – окружности или прямые). А(В) – результат действия симметрии относительно А на В, иначе говоря симметричная с В относительно А окружность. Эта окружность – сама задает некоторую симметрию. Можно ли выразить инверсию, которую задает А(В) через композицию инверсий относительно А и В? Если можно, то как?
Обозначим А(В)=С. С задает некоторую новую симметрию. Что значит «две симметрии совпадают»? Или, более общий вопрос: «два движения, например С и С1 совпадают?».
Это означает, что они одинаково действуют на все точки плоскости, т.е. для всех точек плоскости С(Х)=С1(Х). Рассмотрим сначала случай, когда А и В – прямые.


Мы хотим выразить С(Х), осуществляя симметрии относительно А и В. Симметрия относительно А переведет А(В)=С снова в В, а пару точек Х и С(Х), симметричную относительно С=А(В) в пару точек, симметричную относительно А(А(В))=В (последнее т.к. симметрия сохраняет углы и расстояния, если фигуры симметричны относительно некоторой прямой М, то их образы при симметрии относительно любой прямой L – симметричны относительно L(М)).
Поэтому А(В(А(Х)))= С(Х). (А переводит пару точек А(Х), В(А(Х)) симметричных относительно В в пару точек, симметричных относительно А(В)=С, А(А(Х))=Х, А(В(А(Х)). Что и требовалось. Мы выразили С(Х) через композиции А и В: С=А*В*А. Заметим, что раз А инволютивно А*А=е или А-1=А (обратное к А движение совпадает с А). Поэтому мы можем записать С=А*В*А-1.
Усложним нашу задачу. Пусть теперь А – не симметрия относительно прямой, а – произвольное движение плоскости, произвольная композиция симметрий. А как-то действует на прямую В. Пусть А(В)=С, где С – некоторая другая прямая. Поэтому С задает некую симметрию. Как выразить эту симметрию с помощью композиции А и симметрии относительно В?
Ответ будет тем же самым: С=А*В*А-1. Докажем. Пусть Х – произвольная точка. Пара точек Х, С(Х) – симметрична относительно прямой С. Рассмотрим пару точек А-1(X), A-1(C(X)). Она будет симметрична относительно А-1(C)=A-1(A(B))=В. Поэтому В(А-1(x))=A-1(C(X)). Подействуем на обе части равенства движением А, получим: А(В(А-1(Х)))=С(Х). Что и требовалось.
Применим наши выкладки к простейшему случаю: когда прямая В действует сама на себя. В(В)=В, В*В*В-1=В как и должно быть.
Мы рассмотрели случай, когда А и В прямые. Если это окружности, то все рассуждения сохраняют силу.


Ведь инверсии относительно окружностей также переводят точки, симметричные относительно окружности, в точки, симметричные относительно образа этой окружности при инверсии. Просто рисунки симметрий относительно прямых – более наглядны, поэтому я с них и начал эту тему.
Теперь дадим определение сопряженных движений. Пусть А и В два движения (не обязательно симметрии). Движение А*В*А-1 называется сопряженным с В движением. Только что мы видели роль сопряженных движений для частного случая, когда В – симметрия относительно прямой или инверсия.

Композиция симметрий на плоскости.


Прежде, чем исследовать композицию инверсий, рассмотрим композицию симметрий относительно прямых на плоскости. Напомним сказанное в ст.2:
1. Если прямые А и В пересекаются, то композиция симметрий относительно них – поворот на удвоенный угол между ними. Центр поворота – точка пересечения А и В.
2. Если прямые А и В параллельны, то композиция симметрий относительно них – параллельный перенос на удвоенное расстояние между ними, в направлении, перпендикулярном этим прямым. (Напоминает поворот с центром в очень далекой точке).
Сделаем несколько простых наблюдений относительно точечных симметрий. Симметрия относительно какой-либо точки Т – есть результат композиции симметрий относительно двух перпендикулярных прямых А и В, пересекающихся в этой точке.


В*А=А*В=Т
Композиция двух точечных симметрий относительно двух произвольных точек Р и Q, как было показано в ст. 2 это параллельный перенос на удвоенный вектор с концами в Р и Q (начало вектора в центре первой симметрии, конец – в центре второй). Заметим, что все параллельные переносы коммутируют между собой. Поэтому мы можем записать тождество для точечных симметрий: пусть есть четыре произвольные точки P, Q, S, T. Тогда: P*Q*S*T=S*T*P*Q, ведь P*Q и S*T – а переносы можно переставлять!
Заметим еще, что симметрия относительно прямой и симметрия относительно точки коммутируют тогда и только тогда, когда точка лежит на этой прямой. В этом случае результат композиции – симметрия относительно перпендикуляра к исходной прямой в данной точке. Это можно вывести из рис.3. А*В=Т, следовательно А=Т*В. Заметим еще, что если две симметрии (не важно, относительно точки или прямой) коммутируют, то их композиция – инволютивна. Пусть H и F – две произвольные коммутирующие симметрии. Обозначим H*F=F*H за G. G*G=H*F*H*F=H*F*F*H (коммутативность)= Н*Н=е (тождественное движение). Что и требовалось, G*G=e иначе говоря, G – инволютивна. Верно и обратное – если композиция двух симметрий инволютивна, то исходная пара симметрий коммутирует между собой, оставляю это для самостоятельного доказательства.

Композиция симметрий относительно четырех прямых.


Теперь покажем, что композиция симметрий относительно любых четырех прямых А, В, С, D равна композиции симметрий относительно каких-то двух прямых (то есть всегда есть поворот или параллельный перенос).
Обозначим композицию симметрий относительно А, В, С, D как H. H=D*C*B*A. «Вставим» в запись H симметрию относительно некоей прямой F: H=D*C*B*A=D*C*(F*F)*B*A=(D*C*F)*(F*B*A). Эти равенства выполняются, какой бы F ни была, они просто следуют из того, что мы можем как угодно расставлять скобки, выполняя композицию, иначе говоря из ассоциативности. Если D*C*F и F*B*A – обе являются симметриями относительно неких прямых, то мы получим требуемое. Поэтому для доказательства нам достаточно найти такую F, что обе указанные композиции из трех симметрий стали бы равны симметрии относительно прямой. В ст.2 мы уже говорили о «пучках прямых». Рассмотрим прямую, соединяющую пучки (D, C) и (В, А) – она и будет искомой F. Для тех, кто не обратил внимание на это место ст. 2, поясню. Пусть прямые В, А пересекаются в точке Р, а прямые D, C – в точке Q. Проведем через эти точки прямую F. Тогда А, В, F – все проходят через Р и по доказанному ранее в ст.2 F*B*A – симметрия относительно некоей прямой L, проходящей через Р, а D*C*F – симметрия относительно некоей прямой М, проходящей через Q. Итак, в этом случае: D*C*B*A=(D*C*F)*(F*B*A)=М*L где М и L – прямые. Что и требовалось доказать.


Пусть теперь прямые А и В не пересекаются, а параллельны. Выберем из это пучка параллельных прямых прямую, проходящую через Q, точку пересечения прямых C и D.


Прямая F и будет искомой
Если же С и D тоже не пересекаются, то В*А – параллельный перенос, С*D – параллельный перенос, поэтому (D*C)*(B*A) – композиция двух параллельных переносов, а композиция двух переносов – всегда снова параллельный перенос. А всякий параллельный перенос – представим композицией двух осесимметрий.
Мы можем пояснить рисунок 4 и само доказательство более геометрично: раз композиция В*А поворот с центром в точке пересечения В и А, то, если угол между В1 и А1 равен углу между В и А (и в том же направлении), и В1 и А1 пересекаются в той же точке Р, что В и А, то В*А=В1*А1. Это означает, что мы можем поворачивать В и А относительно Р, и при этом композиция симметрий относительно этих прямых меняться не будет. Повернем так, чтобы В проходила через Q, точку пересечения С и D. Аналогично повернем прямые С и D так, что С заняла место этой прямой. В результате в выражении D*C*B*A два средних члена сократятся, т.к. С и В повернуты до одной и той же прямой.
Итак, доказано, что композицию четырех осесимметрий можно свести к двум осесимметриям. Отсюда следует, что композицию любого числа осесимметрий можно свести не более чем к трем осесимметриям. В самом деле, пусть есть пять осесимметрий и их композиция: А*В*С*D*E= Н. Композиция первых четырех сводится к двум. Значит Н=L*M*E где L*M=А*В*С*D, что и требовалось. аналогично поступим и для композиции большего числа осесимметрий.

Композиция симметрий относительно трех прямых.


Рассмотрим теперь композицию трех осесимметрий С*В*А=Н


Покажем, что Н можно свести к композиции симметрий относительно точки и прямой. Доказательство аналогично проведенному на рис. 4. Мы будем поворачивать прямые С и В до тех пор, пока прямая В не будет перпендикулярна прямой А (т.е. не совпадет с перпендикуляром, опущнным из Р на А). Или, иными словами – найдем прямую L из пучка прямых (В, С) перпендикулярную А. Н=С*В*А=С*В*L*L*A=(C*B*L)*(L*A). Левая скобка – это симметрия относительно прямой, проходящей через Р, а правая скобка – симметрия относительно точки пересечения L и А.
Если С и В параллельны, то доказательство не проходит, т.к. среди прямых параллельных С и В нет прямой, перпендикулярной А (или все перпендикулярны ей). Тогда мы будем поворачивать прямые А и В относительно их точки пересечения Q. До тех пор, пока В станет перпендикулярна С. Или вставим прямую M: H=C*B*A=(C*M)*(M*B*A) так, что М перпендикулярна С и проходит через Q, тем самым Н опять сведено к композиции симметрии относительно точки и прямой. Если А и В – также параллельны, то все три прямые А, В, С – параллельны между собой и С*В*А – осесимметрия, как и в том случае, если А, В, С – все проходят через одну точку. Что и требовалось.
Итак, композиция трех осесимметрий сводится к композиции симметрии относительно точки и прямой. Изучим эту композицию. Обозначим точку, относительно которой проводится симметрия – А, прямую, относительно которой осуществляется симметрия – L.


Мы видим, что все точки на М сдвигают под действием А*L на удвоенное расстояние от А до L. Прочие точки – также сдвигаются на это расстояние в направлении по М (от А к L) и симметрично отражаются относительно М. Т.е. Н=А*L есть композиция переноса на удвоенный вектор с началом в А и концом в В и симметрии относительно М. Это можно получить и на основании формального преобразования: L=B*M, H=A*L=A*(B*M)=(A*B)*M. В скобке стоит перенос (композиция двух точечных симметрий), а затем выполняется осесимметрия, как и было сказано.
Докажем сейчас хитроумное тождество про три произвольные осесимметрии: А, В, С. Именно: (А*В*С)2*(В*С*А)2=(В*С*А)2*(A*B*C)2. Доказательство: для любых осесимметрий (А*В*С)2 – параллельный перенос (предлагаю доказать самостоятельно, используя проведенные выше рассуждения). Значит перенос (А*В*С)2 коммутирует с (В*С*А)2. Что и требовалось.
Заметим, что в ходе рассмотрений композиций четырех и трех осесимметрий мы доказали, что любую композицию осесимметрий можно свести к композиции двух симметрий (относительно прямых или точек, или эта композиция – сама есть симметрия. Иными словами: группа движений плоскости биинволютивна. (Т.е. представима композицией не более чем двух инволютивных элементов).

Определение абстрактной группы движений.


Пусть у нас есть множество отображений (функций, движений) которые действуют на совокупность объектов. Неважно, каких объектов: точек, прямых, окружностей, чисел. Если:
1. Для любого отображения F существует обратное ему отображение Н, такое, что F(H(X))=X для всех объектов Х. (Н обозначают F-1).
2. Если два отображения А и В входят в это множество, то и их композиция А*В=С входит в это множество.
3. Существует отображение Е, такое, что Е(Х)=Х для всех Х. (мы можем ничего не делать. Это «ничего-не-деланье», «нуль» – называется тождественным движением).
То эта совокупность отображений называется группой отображений (движений). Заметим, что из пунктов 1 и 2 можно вывести п.3 (Композиция отображения и обратного ему как раз дает тождественное движение). Заметим еще свойство ассоциативности отображений А*(В*С)=(А*В)*С, означающее, что мы модем как угодно раскрывать скобки. Это свойство присуще всем отображениям, мы им активно пользовались, изучая геометрию окружности, а вот коммутативность обычно выполняется только в исключительных случаях.
То, чем мы занимались в этой статье можно назвать «изучением группы отображений плоскости». Но не произвольных отображений, а таких, которые сохраняют расстояния между точками, углы между прямыми и т.п. Такие отображения называют движениями плоскости. Теперь же мы будем изучать группу преобразований плоскости, порожденную инверсиями.

Композиция пяти инверсий.


В этом разделе мы покажем, что композицию относительно пяти инверсий можно свести к композиции трех инверсий (соответственно композицию шести инверсий можно свести к композиции четырех инверсий). Наши рассуждения будут в большой степени аналогичны рассуждению о рис. 4. пусть у нас есть композиция пяти инверсий H=A*B*C*D*E. Мы возьмем инверсии (окружности) D и Е и будем поворачивать их так, чтобы D*E оставалось неизменным, а D приняло такое положение, что композиция A*B*C*D стала «удобной», сводимой к двум инверсиям. Или «вставим в запись H=A*B*C*D*E инверсию F: H=(A*B*C*F)*(F*D*E) так, что левая скобка сведется к двум инверсиям, а правая – к одной. Чтобы выяснить, как подобрать такое F, определим, когда композиция четырех инверсий A*B*C*D сводима к композиции двух инверсий.
Пара инверсий А и В задает некоторый пучок (или, пользуясь ст. 4 – прямую в проективном пространстве). Пара инверсий С и D – другой пучок. (Другую прямую в проективном пространстве). Если эти пучки соединимы (прямые в проективном пространстве пересекаются), то есть найдется инверсия I, лежащая в них обоих, то инверсию I мы и вставим в композицию A*B*C*D. A*B*C*D=А*В*(I*I)*C*D= (А*В*I)*(I*C*D). Т.к. все три инверсии в левой скобке – лежат в одном пучке, значит левая скобка – инверсия (действительная или мнимая). Так же и правая скобка. (ср. с рис. 4). Заметим, что если пучки (А, В) и (С, D) – оба действительны, то их соединимость означает просто, что точки пересечения А и В лежат на одной окружности с точками пересечения С и D.
Теперь рассмотрим композицию пяти инверсий H=A*B*C*D*E. чтобы свести ее к трем инверсиям, достаточно найти инверсию F, такую, что F лежит в пучке (D, E) и (А, В) и (С, F) – соединимы. В этом случае H=(A*B*C*F)*(F*D*E) сведется к композиции трех инверсий: левая скобка даст, как было показано, две, а правая скобка – одну инверсию.
Пользуясь моделью ст. 4 это делается совсем наглядно: инверсии А, В, С – точки в проективном пространстве, они лежат в некоторой плоскости. Найдем пересечение этой плоскости с прямой проективного пространства, проходящей через D и Е. Полученная точка F и определяет эту инверсию. Можно обойтись и без модели ст. 4. Но понадобится та часть ст. 4 где говорится о свойтсвах пучков и доказывается, что для любых трех инверсий – есть коммутирующая со всеми ними инверсия (если это не окружности, пересекающиеся в одной точке). Найдем удобный критерий того, что пара пучков соединима.
Как показывалось в ст. 2 или в ст. 4, если инверсия коммутирует с какими-то двумя инверсиями, то она коммутирует и со всеми инверсиями из пучка, порожденного ими. Итак, пусть пучки (А, В) и (С, D) соединимы. покажем, что есть инверсия, коммутирующая со всеми четыремя инверсиями А, В, С, D. Пусть F соединяет эти пучки. Тогда пучок (А, F) совпадает с пучком (А, В), пучок (С, F) с пучком (С, D). Для трех инверсий А, С, F существует инверсия, коммутирующая с ними. Обозначим ее I. I коммутирует с А и F, значит I коммутирует и с В, т.к В лежит в пучке (А, F), аналогично I коммутирует и с D, т.к. I коммутирует с С и F, а D лежит в пучке (C, F). Что и требовалось.
Докажем теперь обратное утверждение: если для инверсий А, В, С, D существует инверсия I коммутирующая со всеми ними, то пучки (А, В) и (C, D) – соединимы (здесь полезно вспомнить разные доказательства теоремы о пучках ст. 2 или вернуться к модели ст. 4. в этом случае А, В, С, D будут изображаться точками на одной плоскости и соединяющая их инверсия изобразится точкой пересечения прямых (А, В) и (С, D)). А сейчас мы докажем требуемое с помощью определения пучка через коммутирующие инверсии.
Пучок (А, В) задается парой инверсий, коммутирующих с А и В. Пусть одна из эти инверсий – I, коммутирующая с А, В, С, D (по условию, она существует)., вторая – H. Пучок (С, D) задается парой инверсий, коммутирующих с С и D, пусть опять-таки одна из них I, коммутирующая с А, В, С, D, а вторая G. Мы имеем три инверсии I, H, G. Существует инверсия F, коммутирующая со всеми ними. Она и будет соединять пучки (А, В) и (С, D). В самом деле, F коммутирует с I и H и потому лежит в пучке (А, В). F коммутирует с I и G и потому лежит в пучке (C, D). что и требовалось.
Предоставляю читателю самостоятельно разобрать случай, когда I, H, G – пересекаются в одной точке.
Итак, мы доказали, что композицию четырех инверсий можно свести к двум в том случае, когда есть инверсия коммутирующая со всеми исходными четыремя инверсиями. Вернемся к нашей исходной композиции пяти инверсий: H=A*B*C*D*E. Пусть инверсия I коммутирует с А, В, С. В пучке (D, E) найдется инверсия F ортогональная (коммутирующая) I. Опять таки, проще всего это доказать, определив пучок (D, E) через пару инверсий, с которыми коммутируют все инверсии пучка (D, E). Искомая инверсия должна коммутировать с этой парой и I. Поскольку всегда есть инверсия, коммутирующая с тремя данными – такая инверсия F существует. Что и требовалось (опять-таки, предлагаю самостоятельно проанализировать случай, когда рассматриваемые окружности пересекаются в одной точке).
Теперь мы применим ставшее уже стандартным рассуждение: H=A*B*C*D*E= (A*B*C*F)*(F*D*E), где F – окружность, существование которой мы только что доказали. Т.к. I коммутирует с А, В, С, F то левая скобка сводится к двум инверсиям: (А, В) и (С, F) – соединимы. Правая скобка состоит из трех инверсий одного пучка, поэтому сводится к одной инверсии. Все выражение потому сводится к 2+1=3 инверсиям, что и требовалось. Отсюда, разумеется, следует, что композиция шести инверсий сводится к композиции четырех инверсий (композиция первых пяти, по доказанному, сводится к трем и обавляется еще одна, последняя инверсия, всего получается – четыре инверсии).

Немного о симметриях в пространстве.


В этой статье я чередую изложение геометрии окружности с евклидовой планиметрией и стереометрией, чтобы наглядно продемонстрировать единство методов изучения этих разных случаев. Кроме того, факты геометрии окружности подсказывают идеи для стереометрии и наоборот.
В евклидовом пространстве мы имеем симметрии:
1. Относительно точки.
2. Относительно прямой
3. Относительно плоскости.
Сделаем простые наблюдения:
Симметрии, задаваемые перпендикулярным плосокостями – коммутируют. Их композиция – симметрия относительно прямой, по которой эти плоскости пересекаются.. Верно и обратное: если симметрии относительно плоскостей коммутируют – они перпендикулярны.. Если три плоскости А, В, С все перпендикулярны между собой, то они все коммутируют между собой а композиция А*В*С=Т, где Т – симметрия относительно их точки пересечения. Если две прямые перпендикулярны, то композоиция симметрий относительно них – симметрия относительно прямой, проходящей через точку их пересечения и ортогоналной обеим исходным. Если прямые А, В, С все перепендикулярны друг другу (оси координат), то композиция трех симметрий относительно них – тождественное движение: А*В*С=е
Мы видели, что композицией трех симметрий относительно плоскостей – можно получить точечную и осесимметрии. А вот с помощью композиций осесимметрий нельзя получить ни симметрию относительно точки, ни симметрию относительно плоскости. Дело в том, что симметрии относительно точки или плоскости – меняют ориентацию фигуры, а симметрии относительно прямых–нет. Композиция двух точечных симметрий – параллельный перенос пространства, композиция двух симметрий относительно плоскостей – поворот на удвоенный угол между ними, вокруг прямой их пересечения (а если плоскости не пересекаются, то – параллельный перенос).
Композиция двух симметрий относительно прямых устроена сложнее. Это – винтовое движение. Оно состоит из поворота относительно некоторой оси и параллельного переноса вдоль этой оси. Если две прямые пересекаются в одной точке, то композиция будет только поворотом, а если они параллельны – только параллельным переносом. Методом, очень похожим на доказательство аналогичного факта для геометрии окружности можно доказать, что композиция 5 симметрий относительно плоскостей есть композиция трех симметрий относительно каких-то других плоскостей. Докажем, что композиция трех осесимметрий сводится к композиции относительно двух других осесимметрий. Отсюда будет следовать, что композиция двух винтовых движений – снова винтовое движение.
1. Для любых двух прямых А и В есть прямая С, перпендикулярная им обеим. (Это – хорошо известный факт стереометрии. Я привожу здесь его доказательство потому, что оно очень изящно использует идеи непрерывности). Пусть на прямой А перемещается точка Р, а на прямой В – точка Q. Будем измерять расстояние |P, Q|. Очевидно – это расстояние может быть сколько угодно большим. Но оно не может быть сколь угодно малы, оно никак не может быть меньше нуля. По известной теореме о непрерывности – при каких-то Р и Q это расстояние достигает минимума. Проведем через эти точки прямую (P, Q). Она и будет искомой! Потому что перпендикуляр из точки Р на прямую В реализует кратчайшее расстояние от Р до В. Если же минимум |P, Q|=0, то Р=Q, значит А и В – пересекаются и поэтому лежат в одной плоскости. Искомая прямая -- проходит через точку их пересечения и ортогональна плоскости, в которой они лежат (и, разумеется А и В).
2. Если для прямых А, В, С существует перпендикулярная им всем прямая Н, то А*В*С – инволютивно и есть осесимметрия относительно некоей прямой D, также перпендикулярной Н. Доказательство аналогично плоскому случаю трех прямых, пересекающихся в одной точке. Пусть D – некоторая осесимметрия. Равенство А*В*С=D равносильно А*B=D*C. Выберем D на таком же расстоянии от С, как А от В и образующую с С такой же угол и в том же направлении как угол между А и В и получим нужное А*В= D*C (т.к. и левая и правая часть равенства определяют одно и тоже винтовое движение относительно одной и той же оси Н). Домножив справа на С получим искомое А*В*С=D. Что и требовалось.
3. Пусть теперь А, В, С – три произвольные прямые. Пусть Н=А*В*С. Опять-таки, мы сейчас вставим F, такое, что А*В*F инволютивно и F*C – инволютивно. Пусть прямая М перпендикулярна А и В (по доказанному в п. 1 – она существует). Так же существует и прямая F, ортогональная М и С. Она и будет искомой. H=(A*B*F)*(F*C). Левая скобка – осесимметрия, т.к. А, В, F – перпендикулярны одной прямой М. Правая скобка осесимметрия, т.к. F перпендикулярна к С. Что и требовалось.
Предлагаю читателю самостоятельно разобрать случаи композиции симметрий относительно плоскости и лежащей на ней точки, плоскости и лежащей на ней прямой, плоскости и перпендикулярной ей прямой, прямой и лежащей на ней точки. Не очень сложно доказать, что всякую композицию симметрий в трехмерном пространстве можно свести к композиции симметрий относительно двух объектов (плоскости, прямой или точки). Иначе говоря – группа движений трехмерного пространства – биинволютивна. Группа движений n-мерного евклидова пространства также биинволютивна: композиция любого числа симметрий сводится к двум симметриям относительно гиперплоскостей разных размерностей (я считаю точку гиперплоскостью размерности 0) Доказательство будет посложнее, я не буду его здесь приводить, т.к. это уведет нас в сторону.

Биплетная симметрия,
или симметрия относительно пары точек.


На обычной, евклидовой плоскости композиция симметрий относительно двух перпендикулярных прямых – точечная симметрия. А что будет результатом композиции двух ортогональных инверсия? Начнем со случая, когда обе эти инверсии – действительные. Пусть есть две ортогональные окружности А и В пересекающиеся в точках P и Q.


Обозначим h(X) результат композиций А и В. h=A*B=B*A. h(X)=A(B(X))=B(A(X)). Легко видеть, что h(h(X))=X (h – инволютивно).
В самом деле h*h=А*В*А*В=А*В*В*А=е т.к. А и В по условию коммутируют (ортогональны). Очевидно, что h оставляет неподвижными пару точек Р и Q (т.к. их оставляют неподвижными А и В). Сейчас мы покажем, что h аналогично точечной симметрии, т.е. зависит только от точек Р и Q. Какие бы другие окружности С и D ортогональные друг другу и пересекающиеся в точках Р и Q – композиция инверсий относительно них будет одной и той же, подобно тому, как композиция симметрий относительно любой пары перпендикулярных прямых – есть симметрия относительно точки пересечения.
Для этого мы осуществим инверсию I с центром в одной из точек пересечения А и В, напр. в Q. Q перейдет в бесконечно удаленную точку, окружности, проходящие через Р и Q – в прямые, а отображение h – в симметрию относительно I(P). Запишем все это формально, пользуясь соображениями начала статьи о сопряженных элементах:
h=A*B=I-1*I*A*B*I-1*I=I-1*(I*A*I-1)*(I*B*I-1)*I
(I-1=I, т.к. I – инверсия, но я пишу в таком виде, дабы показать роль элементов вида STS-1, т.е. сопряженных элементов). Левая скобка в последнем, несколько громоздком выражении, результат действия I на А т.е. I(A) – прямая, также правая скобка, I(B) – прямая. Т.к. инверсия сохраняет углы, то I(A) и I(B) – ортогональные прямые. Эти прямые пересекаются в точке I(P). Композиция симметрий относительно них – точечная симметрия относительно I(P). Итак, чтобы найти образ произвольной точки Х при отображении h достаточно:
1. Найти I(X) и I(P)
2. Сделать симметрию точки I(X) относительно I(P).
3. Результат инвертировать относительно I.
Эти операции в самом деле не зависят от А и В, поскольку композиция I(A)*I(B) не зависит от I(A) и I(B), а только от точки их пересечения. Что и требовалось.
Также из изложенного следует, что у h нет неподвижных точек кроме Р и Q.
Можно сказать, что инверсия I определяет изоморфизм между группой, порожденной инверсиями окружностей, проходящих через Р и Q и группой, порожденной симметриями прямых, проходящих через I(P). При этом изоморфизме произвольная окружность S, проходящая через Р и Q переходит в I(S) или в I*S*I-1.
В начале статьи уже было дано определение сопряженных движений. Позднее было дано определение "группы движений". В произвольной группе движений сопряженные элементы определяются точно также: пусть D и С – произвольные движения (элементы группы движений). Тогда элемент С*D*C-1 называется сопряженным с D элементом. Очень важно, что элемент, сопряженный с произведением двух элементов равен произведению сопряженных элементов (во всех случаях сопряжение должно производиться каким-то одним элементом групп движений). Звучит несколько загадочно, но тривиально записывается и доказывается
(С*D1*C-1)*(C*D2*C-1)=C*D1*D2*C-1. В двух скобках слева стоят элементы, сопряженные с D1 и D2, справа – элемент сопряженный с D1*D2, для доказательства достаточно сократить C-1*C в середине левой части равенства. Отсюда следует, что сопряжение каким-то элементом, например С, задает изоморфизм группы движений в себя (см. определение изоморфизма в ст. 3) (такие изоморфизмы называются "автоморфизмами" т.к. группа движений при них отображается в себя, а не во что-то другое). Иными словами, если у нас есть набор движений D1, D2, ... DK и их связывают какие-то тождества (кто-то с кем-то коммутирует, какой-то элемент в кубе равен тождественному движению и т.п.), то сопряженные элементы: C*D1*C-1, C*D2*C-1, ... C*DK*C-1 связывают точно такие же тождества.
Вернемся к геометрии окружности. Я назову симметрию относительно пары точек Р и Q (определенную как композицию инверсий относительно двух ортогональных окружностей, пересекающихся в Р и Q) биплетной симметрией, а пару точек Р и Q – биплетом. А точки Р и Q – концами биплета. Как удобно построить образ точки Х при симметрии относительно биплета с концами Р и Q.


h(X)=B(A(X))=D\B(X) (т.к. Х на А, то А(Х)=Х). Чтобы построить h(X) можно найти центр В – провести к А касательные прямые в точках Р и Q. Они пересекутся в центре В (ортогональной к А) и провести прямую через этот центр и Х. Вторая точка пересечения этой прямой с окружностью А и даст точку h(X). (ср. с А-отображениями ст. 4).


Можно найти h(X) по другому. Проведем через точку Х окружность, ортогональную А и В. Ее вторая точка пересечения с окружностью А и будет h(X).


Из рисунка 11 ясно, что если рассмотреть симметрию, заданную биплетом с концами Х, h(X) то она отобразит точку Р в точку Q (и, разумеется точку Q в точку Р). Также это ясно из рисунка 10 и ст. 4. Итак, симметрия относительно пары точек (биплета) обладает замечательным свойством: если биплет отображает точку Х в Y, то биплет с концами Х, Y меняет местами концы отображающего биплета. Если обозначить биплет с концами Р и Q как (Р, Q), а его действие на Х как (Р, Q)(X) то сказанное можно записать так:
(P, Q)(X)=Y равносильно тому, что (X, Y)(P)=Q. Отметим еще свойства биплетной симметрии:
1. Образ точки Х лежит на окружности, проходящей через Х и концы биплета.
2. Х и ее образ лежат на этой окружности по разные стороны от концов биплета.
Рассмотрим еще частный случай, когда точки Х, Р, Q лежат на одной прямой. В этом случае метод построения, указанный на рис. 10 не работает (касательные не провести). Но можно воспользоваться методом рис. 11. Можно и просто вычислить все нужные расстояния.


Т.к. центр окружности, ортогональной прямой – обязательно лежит на этой прямой, по середине между точками пересечения прямой и окружности, то радиус этой окружности равен |O, P|=|P, Q|/2. При инверсии относительно В Х перейдет в точку В(Х) такую, что |O, X|*|O, B(X)|=|O, P|*|O, P|. Четверка точек (или две пары точек (Х, В(Х)=h(X)) и (Р, Q) лежащие на одной прямой и связанные таким образом называются гармоническими. Более того: концы биплета точка, и ее образ при симметрии относительно этого биплета – находятся в гармоническом отношении и если не лежат на одной прямой (но, как было показано они всегда лежат на одной окружности). Сравните это с тем определением гармонического отношения, которое появилось в ст. 3 при рассмотрении четырех взаимно касающихся окружностей.
Вернемся к рассмотрению трех взаимноортогональных окружностей. Немного изменим обозначения по сравнению с рис. 11.


Шестерка точек пересечения трех взаимноортогональных окружностей Х, Y, P, Q, F, T обладает рядом замечательных свойств. Например, через эти точки можно провести 4 касающиеся друг друга окружности (мы докажем это в следующих статьях, ср. ст. 3) – так, что точки касания будут в этих шести точках. Сейчас мы отметим свойства биплетных симметрий. Разобьем шесть точек на три биплета, так, чтобы точки пересечения двух окружностей были концами одного биплета: (Х, Y), (P, Q), (F, T). Каждый из этих биплетов меняет местами концы двух других. Обозначим первый биплет f1, второй f2, третий f3. По определению: f1=A*C, f2=A*B, f3=B*C. f1*f2=(A*C)*(A*B)=A*A*C*B=C*B=f3 (мы воспользовались коммутативностью А, С, В между собой). Аналогично f1*f3=f2, f3*f2=f1. Также легко показать, что все биплеты f1, f2, f3 – коммутируют между собой и что f1*f2*f3=e. Аналогичные соотношения связывают симметрии относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей и прямых, по которым эти плоскости пересекаются. Композиция симметрий относительно трех ортогональных плоскостей в стереометрии Евклида – точечная симметрия. А в геометрии окружности: А*В*С=I где I – мнимая инверсия, ортогональная им всем (см. ст. 3, теорема о четырех ортогональных инверсиях). I меняет местами концы всех биплетов I(X)=Y, I(P)=Q, I(F)=T. Воспользуемся этим фактом, чтобы восполнить один пробел.
В самом начале рассуждений о биплетах, рассматривая композицию коммутирующих окружностей А и В, я разобрал случай, когда они – обе действительные. Поэтому и появились точки пересечения (концы биплета). Пусть теперь одна из окружностей – мнимая (две мнимые окружности не могут коммутировать). Обозначим ее I, а действительную – А. Проведем две действительные окружности В и С коммутирующие с А и I. Как было сказано, А*В*С=I. Домножив на А слева, получим В*С=А*I. То есть композиция коммутирующих инверсий, одна из которых – мнимая, совпадает с композицией двух действительных инверсий В и С. Что и требовалось, поэтому нам нет необходимости специально разбирать случай композиции коммутирующих мнимой и действительной инверсий.
В следующих статьях я надеюсь подробней изучить исчисление биплетных симметрий и показать, как с его помощью определить комплексные числа и даже абстрактную математическую структуру, называемую полем и как это исчисление помогает изучать спиралевидные движения.